PRINCIPALES FUNDADORES DE LOS POLÍGONOS

Entre los matemáticos que realizaron estudios de polígonos se destacan

Pitágoras

(Isla de Samos, actual Grecia, h. 572 a.C. - Metaponto, hoy desaparecida, actual Italia, h. 497 a.C.) Filósofo y matemático griego. Aunque su nombre se halla vinculado al teorema de Pitágoras y la escuela por él fundada dio un importante impulso al desarrollo de las matemáticas en la antigua Grecia, la relevancia de Pitágoras alcanza también el ámbito de la historia de las ideas: su pensamiento, teñido todavía del misticismo y del esoterismo de las antiguas religiones mistéricas y orientales, inauguró una serie de temas y motivos que, a través de Platón, dejarían una profunda impronta en la tradición occidental.

Se tienen pocas noticias de la biografía de Pitágoras que puedan considerarse fidedignas, ya que su condición de fundador de una secta religiosa propició la temprana aparición de una tradición legendaria en torno a su persona. Parece seguro que fue hijo del mercader Mnesarco y que la primera parte de su vida transcurrió en la isla de Samos, que probablemente abandonó unos años antes de la ejecución del tirano Polícrates, en el 522 a.C. Es posible que viajara entonces a Mileto, para visitar luego Fenicia y Egipto; en este último país, cuna del conocimiento esotérico, Pitágoras podría haber estudiado los misterios, así como geometría y astronomía.

Algunas fuentes dicen que Pitágoras marchó después a Babilonia con Cambises II, para aprender allí los conocimientos aritméticos y musicales de los sacerdotes. Se habla también de viajes a Delos, Creta y Grecia antes de establecer, por fin, su famosa escuela en la ciudad de Crotona, una de las colonias que los griegos habían fundado dos siglos antes en la Magna Grecia (el actual sur de Italia), donde gozó de considerable popularidad y poder. La comunidad liderada por Pitágoras acabó, plausiblemente, por convertirse en una fuerza política aristocratizante que despertó la hostilidad del partido demócrata, de lo que derivó una revuelta que obligó a Pitágoras a pasar los últimos años de su vida en la también colonia griega de Metaponto, al norte de Crotona.

La comunidad pitagórica estuvo siempre rodeada de misterio; parece que los discípulos debían esperar varios años antes de ser presentados al maestro y guardar siempre estricto secreto acerca de las enseñanzas recibidas. Las mujeres podían formar parte de la hermandad; la más famosa de sus adheridas fue Teano, esposa quizá del propio Pitágoras y madre de una hija y de dos hijos del filósofo.

La filosofía de Pitágoras

Pitágoras no dejó obra escrita, y hasta tal punto es imposible distinguir las ideas del maestro de las de los discípulos que sólo puede exponerse el pensamiento de la escuela de Pitágoras. De hecho, externamente el pitagorismo más parece una religión mistérica (como el orfismo) que una escuela filosófica; en tal sentido fue un estilo de vida inspirado en un ideal ascético y basado en la comunidad de bienes, cuyo principal objetivo era la purificación ritual (catarsis) de sus miembros.

Sin embargo, tal purificación (y ésta es su principal singularidad respecto a los cultos mistéricos) se llevaba a cabo a través del cultivo de un saber en el que la música y las matemáticas desempeñaban un papel importante. El camino hacia ese saber era la filosofía, término que, según la tradición, Pitágoras fue el primero en emplear en su sentido literal de «amor a la sabiduría»; cuando el tirano Leontes le preguntó si era un sabio, Pitágoras le respondió cortésmente que era «un filósofo», es decir, un amante del saber.

Pitágoras en La escuela de Atenas (1511), de Rafael

También se atribuye a Pitágoras haber transformado las matemáticas en una enseñanza liberal (sin la utilidad por ejemplo agrimensora que tenían en Egipto) mediante la formulación abstracta de sus resultados, con independencia del contexto material en que ya eran conocidos algunos de ellos. Éste es, en especial, el caso del famoso teorema de Pitágoras, que establece la relación entre los lados de un triángulo rectángulo: el cuadrado de la hipotenusa (el lado más largo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los lados cortos que forman el ángulo rectángulo). Del uso práctico de esta relación existen testimonios procedentes de otras civilizaciones anteriores a la griega (como la egipcia y la babilónica), pero se atribuye a Pitágoras la primera demostración del teorema, así como otros numerosos avances a su escuela.

El esfuerzo para elevarse a la generalidad de un teorema matemático a partir de su cumplimiento en casos particulares ejemplifica el método pitagórico para la purificación y perfección del alma, que enseñaba a conocer el mundo como armonía. En virtud de ésta, el universo era un cosmos, es decir, un conjunto ordenado en el que los cuerpos celestes guardaban una disposición armónica que hacía que sus distancias estuvieran entre sí en proporciones similares a las correspondientes a los intervalos de la octava musical; las esferas celestes, al girar, producían la llamada música de las esferas, inaudible al oído humano por ser permanente y perpetua.

En un sentido sensible, la armonía era musical; pero su naturaleza inteligible era de tipo numérico, y si todo era armonía, el número resultaba ser la clave de todas las cosas. Mientras casi todos sus predecesores, empezando por Tales y los filósofos milesios, buscaron el arjé o principio constitutivo de las cosas en sustancias físicas (el agua, el aire, etc.), los pitagóricos vieron tal principio en el número: las leyes y proporciones numéricas rigen los fenómenos naturales, revelando el orden y la armonía que impera en el cosmos. Sólo con el descubrimiento de tales leyes y proporciones llegamos a un conocimiento exacto y verdadero de las cosas.

La voluntad unitaria de la doctrina pitagórica quedaba plasmada en la relación que establecía entre el orden cósmico y el moral; para los pitagóricos, el hombre era también un verdadero microcosmos en el que el alma aparecía como la armonía del cuerpo. En este sentido, entendían que la medicina tenía la función de restablecer la armonía del individuo cuando ésta se viera perturbada, y, siendo la música instrumento por excelencia para la purificación del alma, la consideraban, por lo mismo, como una medicina para el cuerpo.

La santidad predicada por Pitágoras implicaba toda una serie de normas higiénicas basadas en tabúes como la prohibición de consumir animales, que parece haber estado directamente relacionada con la creencia en la transmigración de las almas; se dice que el propio Pitágoras declaró ser hijo de Hermes, y que sus discípulos lo consideraban una encarnación de Apolo. La creencia en la metempsicosis, idea orientalizante y extraña a la tradición griega, implicaba la concepción del alma como ente racional inmortal aprisionado en el cuerpo y responsable de sus actos, de forma que de su conducta en la vida dependería el ser en el que se reencarnaría tras la muerte del cuerpo.

Su influencia

Más de un siglo después de la muerte de Pitágoras, en el transcurso de un viaje al sur de Italia efectuado antes de la fundación de la Academia, Platón tuvo conocimiento de la filosofía pitagórica a través de sus discípulos. Se ha afirmado que la concepción del número como principio de todas las cosas preparó el terreno para el idealismo platónico; en cualquier caso, la influencia de Pitágoras es clara al menos en la doctrina platónica del alma (inmortal y prisionera del cuerpo), que también en Platón alcanza su liberación mediante el saber.

De este modo, a través de Platón, diversas concepciones pitagóricas se convertirían en temas recurrentes o polémicos de la filosofía occidental; todavía en el siglo XVII un astrónomo tan insigne como Kepler, a quien se debe el descubrimiento de las órbitas elípticas de los planetas, seguía creyendo en la música de las esferas. Otros conceptos suyos, como los de armonía y proporción, quedarían incorporados a la música y las artes. Pitágoras ha sido visto también como el precursor de una aspiración que tendría grandísimo predicamento a partir de la revolución científica de Galileo: la formalización matemática del conocimiento.

 EUCLIDES 

    Son muy es casas las noticias históricas que se tienen sobre la vida de Euclides. Proclo dice que vivió en el período 306-285 a. c, en tiempos de Ptolomeo I, quién le invitó al museo de Alejandría. Con bastante seguridad, parece que se puede afirmar que Euclides estudió en Atenas, donde conoció los últimos resplandores de su foco científico, pasando luego a Alejandría bajo la protección de los lágidas. Su obra más notable, a la cual debe su inmortalidad, es la titulada Elementos, que equivale a lo que hoy sería un tratado y que ha llegado íntegra hasta nuestros días. Los Elementos rivalizan, por su difusión, con los libros más famosos de la literatura universal: la Biblia, La divina comedia, el Fausto y el Quijote, privilegio tanto más excepcional en cuanto que se trata de una producción científica, no asequible, por tanto, a las grandes masas de lectores. Después de la Biblia y las obras de Lenin, los Elementos ha sido el libro que ha tenido más ediciones y se ha traducido a más lenguas. El rey egipcio Ptolomeo I (306-283 a.C.) empezó a leerlo, pero se cansó enseguida porque le costaba mucho trabajo seguir los largos y minuciosos razonamientos. Mandó llamar a Euclides y le preguntó si existía alguna vía más corta y menos trabajosa. Euclides respondió que no, que «en matemáticas no hay caminos reales». Los Elementos fueron traducidos al latín por Adelardo de Bath y Gerardo de Cremona.

     La actitud actual en las matemáticas se parece al espíritu clásico de Euclides en el sentido de que creemos que basta con la inteligencia para toda creación científica cuyo desarrollo se verifica según un proceso puramente racional. Si cambiamos o suprimimos coherentemente algunos postulados podremos seguir obteniendo geometrías coherentes. Éste no es un problema fácil, ya que es complicado decidir sobre la necesidad o no de un postulado o sobre su dependencia de otro u otros. A lo largo de la historia se ha visto como muchos matemáticos han intentado, en vano, probar que el famoso quinto postulado de Euclides era una consecuencia de los restantes. No fue hasta mediados del siglo pasado cuando se vio la independencia de todos los postulados y la posibilidad de la construcción de nuevas geometrías. Habían nacido así las geometrías no elucídelas (elíptica e hiperbólica) con la misma consistencia que la euclídea, pero independientes de ésta.

    Los Elementos constan de trece libros, a los que casi todos los editores agregan otros dos, cuya autenticidad es dudosa. De lo que no cabe duda alguna es de que la historia de los Elementos es la historia de la geometría, desde su redacción hasta el Renacimiento.

Pero Euclides no sólo se dedicó a la geometría. Se habían definido los números primos y Euclides demostró que había infinitos, aunque debido a la inexistencia de un sistema de numeración adecuado le habría resultado difícil dar ejemplos de números primos relativamente grandes, por ejemplo, superiores a un millón. Notemos que para los griegos los números superiores a diez mil eran ya prácticamente inmanejables, debido a los métodos de cálculo rudimentario y enojoso que utilizaban.

Gauss

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) matemático alemán, fue un niño prodigio, y continuó siendo prodigio toda su vida hasta el extremo que se le ha llamado el Príncipe de los Matemáticos, si bien su linaje no fue nada aristocrático, pues nació en una miserable cabaña y sus padres eran pobres. Sus contribuciones a la matemática, la física matemática y otras ramas aplicadas de la ciencia, como la Astronomía, fueron de una importancia extraordinaria. Nunca publicó un trabajo hasta asegurarse de que estaba perfectamente elaborado, por lo cual no hay forma de saber cómo obtenía sus resultados (llegó a decir "cuando se finaliza un noble edificio no deben quedar visibles los andamios", pero, continuando con su metáfora, Gauss no solamente retiró los andamios sino que destruyó los planos. Jacobi dijo: "sus demostraciones son rígidas, heladas... lo primero que hay que hacer es descongelarlas". Abel (v.) observó "Es como el zorro, que borra con la cola sus huellas de la arena").

Fue muy precoz. Antes de cumplir tres años corrigió a su padre en la cuenta de la paga a los obreros, sin que nadie le hubiera enseñado aritmética. A los 10 años el maestro propuso en clase el problema de sumar 1+2+...+100. Apenas había terminado de enunciarlo, cuando Gauss puso su pizarra en la mesa del profesor. Al cabo de una hora sus compañeros terminaron el tedioso cálculo. Sus pizarras estaban repletas de sumas, mientras que en la de Gauss sólo había un número. Era la única respuesta correcta. A Gauss le encantaba, en su vejez, contar esta anécdota. El maestro le compró con su propio dinero un libro de aritmética y se lo regaló. El libro contenía una demostración del teorema del binomio poco rigurosa; a Gauss no le gusto, y construyó otra mejor. A los 19 años había demostrado importantes teoremas de teoría de números, que con anterioridad Euler (v.) y Legendre habían intentado demostrar sin éxito. Desde Euclides se conocían construcciones geométricas con sólo regla y compás para los polígonos regulares de 3, 4, 5, y 15 lados y todos los que se deducen de ellos por bisección, pero ninguno más. En 2.000 años nadie había avanzado nada en este problema. En marzo de 1796, con 18 años, encontró una construcción para el polígono de 17 lados y caracterizó exactamente los polígonos que pueden construirse con regla y compás: su número de lados ha de estar compuesto de potencias de 2 y de primos de Fermat (v.) Con n  primo. Esto fue lo que lo decidió a hacer la carrera de matemáticas.

Según cuenta él mismo, a los 20 años estaba tan sobrecargado de ideas matemáticas que no tenía tiempo para escribirlas. En julio de 1796 demostró que todo entero positivo es suma de tres números triangulares y lo anotó en su diario como "¡Eureka! Num =+ +". El primero en demostrar que un polinomio tiene como máximo tantas raíces distintas como indica su grado fue Gauss. Lo curioso es que esa demostración la hizo con sólo veintiún años, en su tesis doctoral. En 1801, con 24 años, publicó sus Disquisitiones Arithmeticae, donde, entre otras, inventó la aritmética modular porque la necesitaba para profundos teoremas. Fue el primero en usar ampliamente los números complejos (v.) y en expresarlos en su forma binómica junto con sus leyes. En su tesis doctoral (1799), demostró el Teorema Fundamental del Álgebra (v.) por ser uno de los más importantes pilares sobre el que se sustenta todo el álgebra. Fue el primero en emplear geometrías no euclídeas (v.) y en darles tal denominación. Descubrió el teorema de Cauchy, fundamento del análisis de variable compleja. Descubrió la distribución normal (de Gauss), el método de mínimos cuadrados. Su enorme fama aumentó aún más depués de su muerte, al descubrirse, inéditos, una gran cantidad de importantes resultados que él no había querido publicar. 

ARQUIMEDES

Su aportación a las matemáticas: Las investigaciones de Arquímedes en el ámbito de las matemáticas se centraren sobre todo, en la geometría y la aritmética y en lo que hoy se conoce como cálculo integral.

Dentro del campo de la aritmética, escribió dos textos fundamentales. Sobre! medida del circulo y El arenarlo. En la primera de estas obras, uno de sus escritos mi importantes, afirma que la razón entre la circunferencia y su diámetro es igual al sea cual sea el radio de la figura. Por otro lado, demuestra la equivalencia entre i área del círculo y la de un triángulo rectángulo cuyos catetos son el radio y la longitud de la circunferencia.

En El Arenario Arquímedes propone un método para escribir números de gran longitud, dotando a cada cifra de un orden diferente según su posición.

Entre sus publicaciones sobre geometría, las más representativas son De la esfera y del cilindro, donde introduce el concepto de concavidad, así como ciertos postulados referentes a la línea recta; Conoides y esferoides, que contiene la definió de las figuras engendradas por la rotación de distintas secciones planas de un cono y De de las espirales, centrada en el estudio de estas curvas y sus propiedades.

La denominada «espiral de Arquímedes» es resultado del movimiento que describe un punto que se desplaza con movimiento uniforme sobre una recta que gira alrededor de uno de sus puntos; su radio vector es proporcional al ángulo.

Entre las obras que han sobrevivido existe una pequeña obra maestra titulada Mediciones del círculo, que contiene uno de sus mejores ejemplos de argumentación geométrica, aquella en la que explica la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, lo cual le permitió obtener un cálculo notablemente preciso del valor de Pi. El método que utilizó aquí despejó el camino hacia uno de los principales descubrimientos matemáticos.

Arquímedes calculó el área de un círculo descubriendo los límites entre los cuales se hallaba dicha área, y luego estrechando gradualmente esos límites hasta aproximarse al área real. Esto lo hizo inscribiendo en el interior del círculo un polígono regular y circunscribiendo después el círculo en un polígono similar.

Arquímedes comenzó con dos hexágonos. Doblando el número de lados y repitiendo el proceso obtuvo finalmente polígonos de 96 lados. Calculó el área del polígono interior, que proporcionaba el límite inferior del área del círculo. A continuación calculó el área del polígono exterior, la cual proporcionaba el límite superior. Con este método pudo calcular que: 3 10/71<  Pi <3 1/7

En decimales esto da la siguiente ecuación: 3.14084 < Pi < 3.142858

La precisión de este cálculo puede apreciarse por su proximidad a la cifra que hoy manejamos: Pi = 3.1415927. Aquí la principal innovación de Arquímedes fue emplear la aproximación en vez de la igualdad exacta. Euclides había indicado la posibilidad de emplear este método, pero ni lo aplicó a conciencia ni vio sus posibilidades. Arquímedes vio que a menudo bastaba con dar dos aproximaciones relativamente fáciles a una respuesta, que proporcionaban un límite superior e inferior entre los cuales se hallaba dicha respuesta.

FUENTES BIBLIOGRÁFICAS

Biografías de grandes matemáticos, recuperada en: https://www.google.com.co/webhp?sourceid=chrome-instant&ion=1&espv=2&ie=UTF-8#q=biografias%20de%20matematicos%20que%20trabajaron%20sobre%20poligonos

Sanz, A. (Marzo del 2000). Historia de la matemática a través de la Imagen. Recuperado de http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/html/presentacion.html